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Notazione di Einstein
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Abstract

In algebra lineare la notazione di Einstein o la convenzione di Einstein nelle sommatorie è una convenzione per contrarre i tensori: ogni indice che compare all'interno di un fattore più di una volta viene sommato al variare di tutti i possibili valori che l'indice può assumere. Nelle applicazioni più comuni l'indice può valere 1,2,3 (per calcoli nello spazio euclideo), o 0,1,2,3 o 1,2,3,4 (per calcoli nello spazio di Minkowski), ma esso può variare in qualsiasi intervallo, compresi insiemi infiniti. La notazione astratta degli indici è uno sviluppo della notazione di Einstein.La convenzione è stata introdotta dallo stesso Albert Einstein per rendere più concise alcune equazioni di geometria differenziale utili a formulare la relatività generale. La convenzione non ha tuttavia alcun significato fisico; si tratta di un metodo di scrittura utile nel formalismo matematico.
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Content:
Definizione
Content:Nell'articolo del 1916 "La fondazione della teoria della relatività generale" (Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie) , Articolo originale della teoria della relatività generale (tedesco), pdf, dopo alcuni paragrafi di introduzione, Einstein dedica il punto B della sezione 4 ai "Mezzi matematici per la formulazione di equazioni covarianti in modo generale". A valle della definizione di quadrivettore covariante e controvariante, dedica una nota alla "Osservazione sulla scrittura semplificata delle espressioni". Dunque, fu lui stesso a usare la dizione di "notazione semplificata", da applicare ai tensore precedentemente introdotti. A proposito scrive: La convenzione è quindi la seguente: Quando un indice si presenta due volte in un termine di una espressione occorre sommare rispetto ad esso, salvo il caso che sia esplicitamente indicato il contrario.
Esempi
Content:Generalmente la convenzione di Einstein è usata in presenza di tensore. Gli esempi qui proposti sono tutti tensori.
Prodotto scalare
Content:Il prodotto scalare di due vettori x e y dello spazio euclideo \R^n è definito come : \langle x,y \rangle = \sum_{i=1}^n x_iy_i. Usando la convenzione di Einstein, si può sottintendere il simbolo di sommatoria. L'espressione può essere scritta come : \langle x,y \rangle = x_iy^i. Infatti il termine x_iy^i contiene due volte l'indice i, una volta come covariante ed una volta come controvariante, la sommatoria sui valori di i può essere sottintesa.
Prodotto vettoriale
Content:Il prodotto vettoriale di due vettori u e v in \R^3 è definito come :(u\times v)_i = \varepsilon_{ijk} u^j v^k\,\! Nell'espressione è sottintesa una somma sugli indici j e k poiché entrambi compaiono due volte in posizioni opposte nel termine di destra. Il simbolo \varepsilon_{ijk} dipendente da 3 indici è il simbolo di Levi-Civita. L'espressione però non è sommata sull'indice i, perché questo compare una volta sola in ogni termine. L'espressione infatti esprime per ogni i l'i-esima componente del prodotto vettoriale fra u e v.Indicando con : \mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3 la base canonica di \R^3, è possibile scrivere il prodotto vettoriale in un'unica equazione del tipo :u\times v = \varepsilon_{ijk} u^j v^k \mathbf e^i Qui la somma è effettuata su tutti gli indici i,j,k. In altre parole, :u\times v = \sum_{i= 1}^3 \sum_{j = 1}^3 \sum_{k = 1}^3 \varepsilon_{ijk} u_j v_k \mathbf e_i.
Indici muti e liberi
Content:In una espressione scritta secondo la convenzione di Einstein, gli indici che vanno sommati si chiamano muti e gli altri sono liberi. Ad esempio, nell'espressione :v^i = T^i_k w^k - U^i_h z^h gli indici k e h sono muti e l'indice i è libero. Poiché gli indici k e h devono essere sommati su alcuni valori predeterminati, hanno un ruolo tutto interno all'espressione che non si "manifesta" all'esterno: in particolare, è possibile cambiare lettera per indicare gli indici muti a piacimento. Ad esempio, i due indici muti possono essere scambiati senza variare il significato dell'espressione: :v^i = T^i_h w^h - U^i_k z^k.
Notazione astratta degli indici
Content:La notazione di Einstein presenta l'inconveniente di non specificare se le relazioni tra le grandezze che compaiono nelle equazioni (in particolar modo i tensore) valgano componente per componente o se siano equazioni tensoriali, indipendenti dalla scelta di una base (algebra lineare). Per questo motivo Roger Penrose e altriin si riportano due lavori Penrose (1968) e Penrose e Rindler (1984) a proposito dell'introduzione della notazione astratta degli indici. hanno proposto l'introduzione di una differenziazione della notazione da usarsi nella notazione di Einsten: Equazioni che contengano indici indicati da lettere latine, del tipo :T^{a_1, \dots, a_r}_{b_1, \dots, b_s} sono da considerarsi relazioni tra tensori e non è necessaria la scelta di una base di coordinate Equazioni che contengano indici indicati da lettere greche, del tipo :T^{\mu_1, \dots, \mu_r}_{\nu_1, \dots, \nu_s} sono da considerarsi relazioni tra le componenti dei tensori e quindi è necessaria la scelta di una base di coordinate. La notazione astratta degli indici (abstract index notation) distingue queste due situazioni; pertanto :T^{abc}_{de}, \ T^{a_1, \dots, a_r}_{b_1, \dots, b_s} indicano veri e propri tensori di tipo (3, 2) e (r,s) , mentre : T^{\mu}_\lambda indica un numero, componente del tensore T dipendente dai numeri \mu e \lambda.Questa notazione si scontra parzialmente con un uso precedente in presenza di uno spaziotempo a 4 dimensioni, tuttavia ancora diffuso, secondo il quale si usano le lettere greche quando si vuole indicare che la sommatoria deve essere svolta su tutti gli indici (spaziali e temporali), si usano le lettere latine quando la sommatoria e ristretta alle sole componenti spaziali Per esempio, :x^{\mu}x_{\mu} = \sum_{\mu=0}^{3} = -(x^0)^2 + ||\hat{x}||^2 dove abbiamo usato la metrica :g_{\mu \nu} = diag(-1, +1, +1, +1) \ e x^0 = ct, invece :x^{i}x_{i} = \sum_{i=1}^{3} = ||\hat{x}||^2. La parte spaziale (vettore 3 dimensionale) del quadrivettore x è indicata da \hat{x} e :||\hat{x}||^2 è la Norma (matematica) quadra di \hat{x}.
Note
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Voci correlate
Content:Categoria:Notazioni matematiche Categoria:Tensori

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