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Statistica di Bose-Einstein
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Abstract

La statistica di Bose-Einstein, anche detta distribuzione di Bose-Einstein o abbreviata in statistica B-E, determina la distribuzione statistica relativa agli stati energetici all'equilibrio termico di un sistema di bosone (fisica), nell'ipotesi che siano identici e indistinguibili tra loro.La statistica di Bose-Einstein e la statistica di Fermi-Dirac sono approssimate dalla statistica di Maxwell-Boltzmann nel caso in cui siano coinvolte alte temperatura o relativamente basse densità. La trattazione quantistica delle particelle si applica quando la distanza tra le particelle si avvicina alla loro lunghezza donda termica di de Broglie, cioè quando le funzioni d'onda associate alle particelle si incontrano in zone nelle quali hanno valori non trascurabili, ma non si sovrappongono. Poiché la densità di occupazione degli stati dipende dalla temperatura, si hanno comportamenti diversi tra alta e bassa temperatura. Ad alta temperatura la maggior parte dei sistemi si colloca entro i limiti classici, ovvero le differenze tra fermioni e bosoni sono trascurabili a meno che essi abbiano una densità molto alta, come ad esempio in una stella nana bianca.La statistica di Bose-Einstein è particolarmente utile nello studio dei gas, a differenza della statistica di Fermi-Dirac, utilizzata più spesso nello studio degli elettroni nei solidi. Per questi motivi esse costituiscono la base della teoria dei semiconduttori e dell'elettronica. I bosoni, contrariamente ai fermioni, non seguono il principio di esclusione di Pauli: un numero illimitato di particelle può occupare lo stesso stato energetico contemporaneamente. Questo spiega perché a basse temperature i bosoni si comportano molto diversamente dai fermioni; infatti essi tendono ad ammassarsi nello stesso livello di bassa energia, formando ciò che è noto come condensato di Bose-Einstein.La statistica di Bose-Einstein è stata introdotta nel 1920 da Satyendra Nath Bose per i fotone ed è stata estesa agli atomi da Albert Einstein nel 1924.
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Content:
Cenni storici
Content:All'inizio del 1920 Satyendra Nath Bose si interessò alla teoria dei fotoni di Albert Einstein, secondo la quale le onde elettromagnetiche sarebbero costituite da particelle chiamate fotone. Bose voleva derivare da considerazioni statistiche la formula della radiazione del corpo nero di Planck, ottenuta dallo stesso Planck mediante una congettura su basi empiriche. Infatti, nel 1900 Max Planck aveva ottenuta la sua formula con una sorta di "manipolazione" delle espressioni per adeguarle ai dati sperimentali. Vent'anni più tardi Bose, utilizzando le particelle immaginate da Einstein per spiegare l'effetto fotoelettrico, fu in grado di derivare la formula della radiazione, sviluppando sistematicamente una statistica per particelle più massive senza la costrizione della conservazione del numero di particelle. Bose derivò la Legge di Planck relativa alla Radiazione proponendo diversi stati per i fotoni. Invece dell'indipendenza statistica delle particelle, Bose considerò le particelle come fossero all'interno di cellette e descrisse l'indipendenza statistica dello spazio delle fasi di tali cellette. Tali sistemi ammettono due stati di polarizzazione, e ad essi è associata una funzione d'onda totalmente simmetrica.Bose aveva ottenuto un risultato di rilievo individuando una legge statistica in grado di spiegare il comportamento dei fotoni. Tuttavia egli all'inizio non poté pubblicare il suo lavoro, perché nessuna rivista europea voleva accettare il suo articolo per incapacità di comprenderlo. Bose spedì allora i suoi scritti ad Einstein, il quale comprese la loro importanza ed utilizzò la sua influenza per ottenerne la pubblicazione.
Descrizione
Content:
La distribuzione
Content:La distribuzione di Bose-Einstein è descritta dall'espressione: : n_i = \frac {g_i} {e^{(\varepsilon_i-\mu)/kT} - 1} con \varepsilon_i > \mu e dove: Ciò si riduce alla statistica di Maxwell-Boltzmann per energie ( εi-μ ) ≫ kT.
Una derivazione della distribuzione di Bose-Einstein
Content:Supponiamo di avere un dato numero di livelli di energia, contraddistinti dall'indice i, ciascuno avente energia εie contenente un totale di niparticelle. Supponiamo inoltre che ciascun livello contenga gisottolivelli distinti, ma tutti con la stessa energia e distinguibili tra loro. Ad esempio, due particelle potrebbero avere momenti diversi e di conseguenza essere distinguibili, ma potrebbero avere la stessa energia. Il valore giall’i-imo livello è chiamato degenerazione di quel livello di energia. Un qualsiasi numero di bosoni può occupare lo stesso sottolivello.Sia w(n,g) il numero di modi di distribuire n particelle tra i g sottolivelli di un certo livello energetico. Esiste solo un modo di distribuire le n particelle in un solo sottolivello, per cui w(n,1)=1. È semplice capire che esistono invece n+1 modi di distribuire n particelle in due sottolivelli, quindi scriveremo:: w(n,2)=\frac{(n+1)!}{n!1!} .Con un semplice ragionamento si può stabilire che il numero di modi di distribuire n particelle in tre sottolivelli è w(n,3)=w(n,2)+w(n−1,2)+...+w(0,2), da cui:: w(n,3)=\sum_{k=0}^n w(n-k,2) = \sum_{k=0}^n\frac{(n-k+1)!}{(n-k)!1!}=\frac{(n+2)!}{n!2!} Qui abbiamo utilizzato la seguente proprietà riguardante i coefficiente binomiale:: \sum_{k=0}^n\frac{(k+a)!}{k!a!} = \frac{(n+a+1)!}{n!(a+1)!}. Iterando questo procedimento, si può mostrare che w(n,g) è dato da:: w(n,g)=\frac{(n+g-1)!}{n!(g-1)!}. Generalizzando, il numero di modi di distribuire n_i particelle in g_i sottolivelli, al variare di i, è il prodotto dei modi in cui ogni livello di energia può essere occupato: : W = \prod_i w(n_i,g_i) = \prod_i \frac{(n_i+g_i-1)!}{n_i!(g_i-1)!} \approx \prod_i \frac{(n_i+g_i)!}{n_i!(g_i)!} Nella precedente approssimazione si assume che g_i>>1. Seguendo la stessa procedura utilizzata per ottenere la statistica di Maxwell-Boltzmann, si dovrebbe determinare un insieme di niche massimizza la funzione W, sotto il vincolo che il sistema sia costituito da un numero fissato di particelle e possieda un'energia fissata. I massimi delle funzioni W e \ln(W) si hanno in corrispondenza del valore N_i. In realtà si massimizza la funzione scritta qui di seguito, perché questa richiesta equivalente è matematicamente più semplice da esplicitare. Utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, si costruisce la funzione:: f(n_i) = \ln(W) + \alpha\left(N - \sum n_i\right) + \beta\left(E - \sum n_i \varepsilon_i\right) Tenendo conto dell'approssimazione g_i\gg1, dell'approssimazione di Stirling per i fattoriali, \left(\ln(x!)\approx x\ln(x)-x\right), derivando rispetto ad n_i, uguagliando a zero e risolvendo rispetto ai, si ottiene:: n_i = \frac{g_i}{e^{\alpha+\beta \varepsilon_i}-1} .Si può mostrare che, per considerazioni di termodinamica, β = 1/kT, dove k è la costante di Boltzmann e T è la temperatura assoluta del sistema; mentre α = -μ/kT dove μ è il potenziale chimico. In conclusione si ottiene:: n_i = \frac{g_i}{e^{(\varepsilon_i-\mu)/kT}-1} Facciamo notare che talvolta questa formula si scrive anche come:: n_i = \frac{g_i}{e^{\varepsilon_i/kT}/z-1} dove z = \exp(\mu/kT) è detta fugacità, ovvero la probabilità di aggiungere particelle al sistema.
Bibliografia
Content:autore:Kerson Huangtitolo:Meccanica statisticaisbn:978-88-08-09152-9editore:Zanichellianno:1997posizione:cap. 8
Voci correlate
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Collegamenti esterni
Content:Categoria:Meccanica statistica quantistica

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