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Tensore di Einstein
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Abstract

Il tensore di Einstein esprime la curvatura dello spaziotempo nell'equazione di campo di Einstein per la gravitazione in teoria della relatività generale.
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Content:
Definizione
Content:Il tensore di Einstein è definito come :G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}R\,g_{\mu\nu}. In questa espressione R_{\mu\nu} è il tensore di Ricci, g_{\mu\nu} è il tensore metrico e R è la curvatura scalare. Per ottenere il tensore di Einstein si contrae due volte la seconda identità di Bianchi : g^{\beta \nu} g^{\alpha \mu} \left(\nabla_{\lambda} R_{\alpha \beta \mu \nu} + \nabla_{\mu} R_{\alpha \beta \nu \lambda} + \nabla_{\nu} R_{\alpha \beta \lambda \mu} \right) = 0 Contraendo gli indici e tenendo conto dell'antisimmetria del tensore di Riemann, si ottiene : \nabla_{\lambda} R_{\nu}^{\nu} - \nabla_{\mu} R_{\lambda}^{\mu} - \nabla_{\nu} R_{\lambda}^{\nu} = 0 Contraendo l'indice \nu , assimilando il secondo e il terzo termine e cambiando i segni abbiamo : 2 \nabla_{\mu} R_{\lambda}^{\mu} - \nabla_{\lambda} R = 0 Facendo uso della relazione \nabla_{\mu} \left(2 R_{\lambda}^{\mu} - \delta_{\lambda}^{\mu} R \right) = 2 \nabla_{\mu} R_{\lambda}^{\mu} - \nabla_{\lambda} R , possiamo riscrivere l'equazione precedente come : \nabla_{\mu} \left(2 R_{\lambda}^{\mu} - \delta_{\lambda}^{\mu} R \right) = 0 che è detta Identità di Bianchi contratte contratta due volte. Moltiplicando entrambi i membri per g^{\nu \lambda} abbiamo : \nabla_{\mu} \left(2 R^{\nu \mu} - g^{\nu \mu}R\right) = 0 ovvero : \nabla_{\mu} \left( R^{\nu \mu} - \frac{1}{2} g^{\nu \mu}R\right) = 0 Abbassando gli indici, e tenendo conto che sia il tensore metrico che il tensore di Ricci sono simmetrici, possiamo scrivere : \nabla^{\mu} \left( R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu}R\right) = 0 La quantità tra parentesi coincide con la definizione di G_{\mu\nu} data sopra.
Proprietà
Content:
Derivata covariante
Content:La proprietà cruciale che caratterizza il tensore di Einstein è l'identità : \nabla_{\mu} G^{\mu\nu} = 0 conseguenza della seconda identità di Bianchi. In altre parole, il tensore di Einstein ha divergenza nulla. Questa proprietà può essere dimostrata nel modo seguente. La seconda identità di Bianchi recita: : \nabla_\lambda R_{\rho \sigma \mu \nu} + \nabla_\rho R_{\sigma \lambda \mu \nu } + \nabla_\sigma R_{\lambda \rho \mu \nu} = 0, \,\! Possiamo Contrazione di un tensore due volte questa uguaglianza usando il tensore metrico inverso: : g^{\nu\sigma}g^{\mu\lambda}(\nabla_\lambda R_{\rho\sigma\mu\nu} + \nabla_\rho R_{\sigma\lambda\mu\nu} + \nabla_\sigma R_{\lambda\rho\mu\nu}) = 0 e otteniamo : \nabla^\mu R_{\rho\mu} -\nabla_\rho R +\nabla^\nu R_{\rho\nu} = 0. In altre parole: : 2\nabla^{\mu}R_{\rho\mu} - \nabla_\rho R = 0. L'ultima equazione è possibile riscriverla nella forma: : \nabla_\rho {R^\rho}_\mu = {1 \over 2} \nabla_{\mu} R\, , che risulta essere identica alle classiche identità di Bianchi contratte pubblicate per la prima volta dal matematico tedesco Aurel Voss nel 1880.
Traccia
Content:La traccia (matrice) del tensore di Ricci è la curvatura scalare R. La traccia G del tensore di Einstein in dimensione n può essere calcolata nel modo seguente: :\begin{align}g^{\mu\nu}G_{\mu\nu} &= g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} - {1\over2} g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}R \\ G &= R - {1\over2} (nR) \\ G &= {{2-n}\over2}R\end{align}In dimensione n=4 il tensore di Einstein ha quindi traccia -R, opposta a quella del tensore di Ricci.In dimensione n=2 (varietà conformemente piatta) il tensore di Einstein ha traccia nulla.
Note
Content:
Bibliografia
Content:titolo:Tensor Calculusnome:J.L.cognome:Syngenome2:A.cognome2:Schildeditore:first Dover Publications 1978 editionanno:1949isbn:978-0-486-63612-2autore:J.R. Tyldesleytitolo:An introduction to Tensor Analysis: For Engineers and Applied Scientistseditore:Longmananno:1975isbn:0-582-44355-5autore:D.C. Kaytitolo:Tensor Calculuseditore:Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA)anno:1988isbn:0-07-033484-6titolo:Riemannian Geometrynome:Manfredo Perdigaocognome:do Carmoanno:1994titolo:Lectures on General Relativitynome:A.cognome:Papapetroueditore:D. Reidel Publishing Companyanno:1974isbn:90-277-0540-2autore:Shoshichi Kobayashicoautori:Katsumi Nomizutitolo:Foundations of Differential Geometry, Vol. 1editore:Wiley-Interscienceanno:1996 (Nuova edizione)isbn:0-471-15733-3 Categoria:Tensori Categoria:Tensori nella relatività generale Categoria:Relatività generale

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