Content:I potenziali ritardati descrivono i potenziali nel caso in cui distribuzione di carica e corrente presente, sorgente del campo, sia variabile nel tempo. Si tratta delle espressioni dei potenziali utilizzata quando non è possibile utilizzare l'approssimazione secondo cui la propagazione dell'interazione elettromagnetica sia istantanea. Ponendo di trovarsi nel vuoto, nel gauge di Lorenz i potenziali ritardati assumono la forma:: \phi (\mathbf x, t)= \frac {1}{4\pi \varepsilon_0} \int \frac {\rho (\mathbf x_0, t_r)} {|\mathbf x - \mathbf x_0|} d^3 x_0:\mathbf A (\mathbf x, t) =\frac {1}{4 \pi \varepsilon_0 c^2} \int \frac {\mathbf J (\mathbf x_0, t_r)} {|\mathbf x - \mathbf x_0| } d^3 x_0 dove \rho è la densità di carica, \mathbf J è la densità di corrente, |\mathbf x - \mathbf x_0| la distanza del punto di osservazione del campo dall'elemento di volume dV su cui si effettua l'integrazione e::t_r=t- \frac {|\mathbf x - \mathbf x_0|}{c} è il tempo ritardato.I potenziali ritardati sono la soluzione dell'equazione delle onde per i potenziali::\quad\nabla^2\phi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = -\frac{\rho }{\varepsilon _0}:\quad\nabla^2\mathbf A-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} = -\mu _0\mathbf JUna volta determinati i potenziali \phi e \mathbf A dalla distribuzione delle cariche e delle correnti nello spazio, è possibile esprimere il campo elettrico ed il campo magnetico attraverso le formule::\mathbf{E}=-\nabla \phi-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \qquad \mathbf{B}=\nabla\times \mathbf{A}Questo consente di scrivere l'equazione delle onde per i campi nel vuoto::\quad\nabla^2\mathbf{E}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = -\frac{1}{\varepsilon _0}\left( -\nabla \rho -\frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathbf{J}}{\partial t} \right):\quad\nabla^2\mathbf{B}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} = -\mu_0 \nabla \times \mathbf{J}La soluzione al tempo ritardato fornisce l'espressione preliminare per i campi::\mathbf{E}(\mathbf{x},t)=\frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} \int \frac {1} {|\mathbf x - \mathbf x_0|} \left[ -\nabla' \rho -\frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathbf{J}}{\partial t} \right]_{t=t_r} d^3 x':\mathbf{B}(\mathbf{x},t)=\frac {\mu_0}{4 \pi} \int \frac {1} {|\mathbf x - \mathbf x_0|} \left[ \nabla' \times \mathbf{J} \right]_{t=t_r} d^3 x'la cui scrittura esplicita è fornita dalle equazioni di Jefimenko::\mathbf{E}(\mathbf{x}, t) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int \left[ \left(\frac{\rho(\mathbf{x}_0, t_r)}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0|^3} + \frac{1}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0|^2 c}\frac{\partial \rho(\mathbf{x}_0, t_r)}{\partial t}\right)(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0) - \frac{1}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0| c^2}\frac{\partial \mathbf{J}(\mathbf{x}_0, t_r)}{\partial t} \right] \mathrm{d}^3 x:\mathbf{B}(\mathbf{x}, t) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int \left[\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}_0, t_r)}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0|^3} + \frac{1}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0|^2 c}\frac{\partial \mathbf{J}(\mathbf{x}_0, t_r)}{\partial t} \right] \times (\mathbf{x}-\mathbf{x}_0) \mathrm{d}^3 xdove \mathbf{x}_0 è un punto all'interno della densità di carica e \mathbf{x} è un punto nello spazio. Le espressioni per i campi nella materia \mathbf{D} e \mathbf{H} hanno la stessa forma.Oleg D. Jefimenko, Solutions of Maxwell's equations for electric and magnetic fields in arbitrary media, American Journal of Physics 60 (10) (1992), 899-902.