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Moto browniano
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Abstract

Con il termine moto browniano si fa riferimento al moto disordinato di Particella (fisica) sufficientemente piccole (aventi diametro dell'ordine del Micrometro (unità di misura)) presenti in fluido o Sospensione (chimica) fluide, ed osservabile al microscopio. Scoperto agli inizi dell'XIX secolo dal botanico scozzese Robert Brown (botanico 1773), il fenomeno ebbe una spiegazione fisica ed una trattazione rigorosa solo nel 1905 con Albert Einstein.Il termine viene usato per indicare sia il fenomeno fisico, che la sua rappresentazione matematica, che può descrivere l'andamento temporale di una classe molto ampia di Processo stocastico. Un'importante categoria di fenomeni rappresentabili con gli strumenti matematici del moto browniano è costituita dall'andamento dei mercato finanziario, come dimostrato sin dal 1900 dal matematico francese Louis Bachelier, nel suo lavoro Théorie de la spéculation.
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Content:
Cenni storici
Content:Sebbene una prima osservazione del fenomeno fosse avvenuta già nel 1785 da parte di Jan Ingenhousz, il termine "moto browniano" deriva dal nome di Robert Brown, che lo osservò nel 1827 mentre studiava al microscopio le particelle di polline della Pulchella clarkia in acqua: egli osservò che i granuli di polline erano in continuo movimento e che in ogni istante tale moto avveniva lungo direzioni casuali.Dopo avere appurato che il movimento non era dovuto a correnti o evaporazione dell'acqua, Brown pensò che queste particelle fossero "vive", analogamente agli spermatozoi. Verificò quindi la sua teoria eseguendo lo stesso esperimento con una pianta morta, con minuscoli frammenti di legno fossile e con frammenti di vetro, osservando tuttavia lo stesso fenomeno. Ciò significava che il movimento delle particelle non era da attribuire ad alcuna "forza vitale", ma Brown non seppe fornire nessun'altra spiegazione a tale fenomeno.Alla fine del sec. XIX, il chimico francese Leon Gouy ipotizzò per primo che il moto osservato da Brown fosse dovuto all'agitazione termica degli atomi costituenti la materia, ma non sviluppò una teoria verificabile del fenomeno. Nel 1905 Albert Einstein pubblicò "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Bewegung von Wärme geforderte in ruhenden suspendierten Flüssigkeiten Teilchen"in lingua italiana: Sulla teoria cinetico-molecolare del movimento dovuto al calore di particelle sospese in liquidi a riposo, uno degli articoli prodotti durante il suo Annus Mirabilis Papers; in esso Einstein fornì una spiegazione fisica del moto browniano, attribuendone la causa agli urti dei granuli di polline con le molecole d'acqua, a loro volta mosse dall'agitazione termica. Egli riuscì inoltre a dare una descrizione quantitativa del fenomeno, che poteva essere sperimentalmente verificata. A questo articolo seguirono, nei tre anni successivi, altri contributi sullo stesso argomento."Zur theorie der Brownschen bewegung", 1906; "Theoretische bemerkung über die Brownsche bewegun", 1907; "Elementare teorie der Brownschen bewegung", 1908.La prima verifica sperimentale dei risultati di Einstein è dovuta a Jean Baptiste Perrin, che per questo, ed altri risultati, ottenne nel 1926 il premio Nobel. Si deve a Perrin anche il libro Les atomes ("Gli atomi", 1913), molto noto all'epoca, che contribuì a sostenere e diffondere la nuova teoria sulla Atomismo, dimostrata, tra l'altro, proprio dal moto browniano.Da un punto di vista teorico, il lavoro di Einstein fu ulteriormente sviluppato da Marian Smoluchowski e Paul Langevin. I loro contributi sono all'origine del nuovo campo dei processi stocastici e delle equazioni differenziali stocastiche, che estendono gli strumenti matematici inizialmente sviluppati per il moto browniano alla rappresentazione di una vasta classe di fenomeni, di interesse, oltre che della fisica, anche della chimica, della teoria delle telecomunicazioni e della finanza.Tra gli sviluppi matematici della trattazione dei moti browniani successivi al lavoro di Einstein è particolarmente noto quello proposto da Norbert Wiener nel 1923, noto come processo di Wiener.Sugli aspetti storici dello sviluppo della teoria del moto browniano si rimanda all'articolo: (dalla home page del prof. A. Vulpiani dell'Università di Roma La Sapienza)
Introduzione
Content:Quando un fluido si trova all'equilibrio termodinamico si potrebbe pensare che le molecola che lo compongono siano essenzialmente ferme o che comunque vibrino attorno alla loro posizione di equilibrio per effetto della temperatura. Se però si osserva il moto di un tale fluido, ad esempio Dispersione (chimica) delle particelle colore molto leggere ed osservandone il movimento, si nota che queste sono tutt'altro che a riposo. Quello che si osserva è che ciascuna particella segue un moto disordinato la cui natura appare essere indipendente dalla natura della particella stessa.Questo è dovuto al fatto che la particella in questione subisce un gran numero di eventi di urto con le molecole del fluido in cui è immersa.Quanto più piccole sono le particelle tanto più rapido è il moto browniano. Questo moto contrasta la forza di gravità e rende stabili le soluzioni colloide. Questa caratteristica permette di valutare se una sospensione di particelle abbia carattere colloide o no: infatti all'aumentare delle dimensioni delle particelle la dispersione colloidale si avvicinerà sempre più ad una Sospensione (chimica) in cui le risultanti degli urti con la fase disperdente sarà pressoché nulla, presentando un moto Browniano quasi nullo (ciò che avviene nel fluido non newtoniano).
Trattazione matematica del moto browniano
Content:File:BrownianMotion.svg Consideriamo una particella di massa (fisica) M immersa in un fluido, all'equilibrio termodinamico, ad una temperatura T. Questa particella sarà soggetta: @an0:gaussianamente La prima equazione cardinale assume la forma :\frac{\operatorname d \bar{v}(t)}{\operatorname d t}=- \frac{\lambda}{m}\bar{v}(t)+\frac{\bar{f(t)}}{m} che ha come soluzione :\bar{v}(t)=e^{-\frac{\lambda}{m}t}\left[\int_0^t \frac{1}{m}e^{\frac{\lambda}{m}t'}\bar{f}(t') \operatorname d t' +\bar{v}(0)\right] e quindi :\left\langle\bar{v}(t)\right\rangle=\bar{v}(0)e^{-\frac{\lambda}{m}t}.Integrando ancora la velocità si ottiene che lo spostamento è dato da :\bar{r}(t)=\bar{r}(0) + \int^t_0 e^{-\frac{\lambda}{m}t'} \left[ \int_0^{t'} \frac{1}{m}e^{\frac{\lambda}{m}t''}\bar{f}(t'') \operatorname d t''+\bar{v}(0) \right] \operatorname d t' e quindi, prendendo la media sulla forza aleatoria f(t), nel caso \bar{v}(0) = 0, :\left\langle\bar{r}^2(t)\right\rangle= \bar{r}^2(0) \frac{m^2}{\lambda^2}\left( e^{-\frac{\lambda}{m}t}-1 \right)^2 +\frac{\Lambda}{\lambda^2}t +\frac{2\Lambda m}{\lambda^3}\left( e^{-\frac{\lambda}{m}t}- \frac{1}{4}e^{-2\frac{\lambda}{m}t}-\frac{3}{4} \right) Per tempi lunghi (t\gg\frac{m}{\lambda}) questa equazione si semplifica in :\left\langle\bar{r}^2(t)\right\rangle\cong\frac{\Lambda}{\lambda^2}t=2Dt dove la costante definita da:D=\frac{1}{2}~\lim_{t \rightarrow \infty} \frac{\left\langle\bar{r}^2(t)\right\rangle}{t}è detta diffusività di materia.
L'equazione di diffusione
Content:Macroscopicamente, una particella soggetta ad un moto browniano subisce, in un tempo infinitesimo \delta t, uno spostamento \delta \bar{r} distribuito come una variabile casuale normale con media (statistica) nulla e varianza 2D\delta t. Un metodo per analizzare questo moto è quello di studiare come evolve la distribuzione di probabilità \rho (\bar{r},t) di trovare la particella nella posizione \bar{r} ad un tempo t+\delta t.Questa può essere riscritta come la probabilità che la particella si trovi in \bar{r} \, ' ad un tempo t moltiplicata per la probabilità condizionata che, nell'intervallo di tempo \delta t, la particella si sia spostata da \bar{r} \, ' a \bar{r}, integrata su tutti gli \bar{r} \, ': \rho (\bar{r}, t+\delta t)= \int \rho (\bar{r} \, ',t) \cdot P(\delta \bar{r}, \delta t|\bar{r} \, ', t) \cdot \operatorname d \bar{r} \, 'dove la probabilità condizionata, per quanto detto sopra, può essere scritta come: P(\delta \bar{r}, \delta t|\bar{r} \, ', t)= \frac{1}{(4\pi D \delta t)^{\frac{3}{2}}} e^{-\frac{|\delta \bar{r}|^2}{4D\delta t}}\Rightarrow \rho (\bar{r}, t+\delta t)= \int \rho (\bar{r} \, ',t) \cdot \frac{1}{(4\pi D \delta t)^{\frac{3}{2}}} e^{-\frac{|\delta \bar{r}|^2}{4D\delta t}}\cdot \operatorname d \bar{r}per \delta t piccoli anche \delta \bar{r} sarà piccolo e quindi possiamo effettuare uno sviluppo in serie di Taylor per ottenere: \rho (\bar{r}, t+ \delta t)= \rho (\bar{r}, t) + D \delta t \nabla^2 \rho (\bar{r}, t)\Rightarrow \frac{\partial}{\partial t} \rho (\bar{r}, t)= D \nabla^2 \rho (\bar{r}, t)che è la ben nota equazione di diffusione.
L'equazione di Fokker-Planck
Content:Se introduciamo una forza esterna (generata da un potenziale scalare U) a cui la particella è soggetta :\bar{F}=-\nabla U possiamo pensare che in assenza della forza aleatoria la particella raggiungerebbe una certa velocità limite :v_{lim}= \frac{\bar{F}}{\lambda} per effetto dell'attrito viscoso. Possiamo quindi scrivere che: :\left\langle\delta \bar{r}\right\rangle= v_{lim} \delta t \cong \frac{\bar{F}}{\lambda}\delta t :\left\langle\delta r_i \delta r_j\right\rangle\cong 2D\delta_{ij}\delta t. Inserendo questi termini nello sviluppo di \rho (\bar{r}, t+\delta t) si ottiene :\frac{\partial \rho}{\partial t}= -\nabla\cdot \left( \frac{\bar{F}}{\lambda} \rho - D \nabla \rho \right) che è la generalizzazione dell'equazione di diffusione al caso di forze esterne non nulle, ed è nota come equazione di Fokker-Planck.
Bachelier e la rappresentazione matematica dei mercati finanziari
Content:Il matematico francese Louis Jean Baptist Bachelier nella sua tesi di dottorato del 1900 sulla "Théorie de la spéculation" sviluppò una teoria, basata su un approccio statistica, con lo scopo di dare conto dell'andamento dei prezzi dei Titoli di credito alla Borsa valori di Parigi. Gli strumenti matematici da lui usati sono molto simili a quelli adoperati da Einstein nell'analisi del moto browniano, e ne condividono i presupposti fondamentali: che le variazioni della grandezza in esame (i prezzi dei titoli in questo caso, gli spostamenti in quello del moto delle particelle) sono indipendenti da quelle precedenti, e che la distribuzione di probabilità di tali variazioni è gaussiana. Per questo lavoro, che rappresenta la prima rappresentazione matematica dell'andamento nel tempo di fenomeni economico-finanziari, Bachelier è considerato il padre della finanza matematicaB. Mandelbrot, R. Hudson: "Il disordine dei mercati. Una visione frattale di rischio, rovina e redditività", Einaudi, 2005, ISBN 88-06-16961-0; cap. III; in suo onore William Feller ha proposto di indicare il processo di Wiener come processo di Bachelier - Wiener.Successivamente alla tesi di Bachelier del 1900, il suo metodo per lungo tempo è caduto in disuso e non è stato ulteriormente sviluppato con specifico riferimento ai mercati finanziari. Soltanto a partire dagli anni 1960 i sostenitori dell'ipotesi di efficienza del mercato (secondo la quale il prezzo di un'attività racchiuda in sé tutta la storia passata) hanno usato la matematica di Bachelier, nella versione più aggiornata rappresentata dal processo di Wiener, per rappresentare l'andamento dei prezzi dei titoli in un mercato finanziario. Da allora questo approccio è definitivamente entrato a far parte degli strumenti della teoria della finanza con il noto lavoro di modello di Black-Scholes-Merton del 1973, che dall'ipotesi di variazioni "browniane" dei prezzi dei titoli finanziari deriva una formula per stimare l'andamento nel tempo dei prezzi dei strumenti derivati. Il termine oggi più usato per indicare questa rappresentazione matematica fa riferimento al concetto di "cammino casuale", o random walk.Oggi, mentre la matematica del moto browniano comunemente utilizzata in fisica è basata sul calcolo stocastico di Stratonovic, in finanza si utilizzano per lo più il calcolo stocastico di lemma di Itō e di calcolo di Malliavin. Applicazioni numeriche nel pricing dei prodotti finanziarie spesso ricorrono a metodi di simulazione Metodo Monte Carlo.Per finire, va citato il fatto che negli ultimi decenni molti autori (tra di essi, Benoît Mandelbrot e Nassim Nicholas Taleb) hanno messo in luce le limitazioni del modello teorico di Bachelier e le sue difficoltà a rappresentare correttamente i mercati finanziari, principalmente a causa dei suoi presupposti già citati (indipendenza delle variazioni dei prezzi dal loro andamento passato e loro distribuzione gaussiana).
Note
Content:
Bibliografia
Content:titolo:Investigations on the Theory of the Brownian Movementeditore:BN Publishinganno:2011ISBN:978-1607962854titolo:Investigations on the Theory of the Brownian Movement (Dover Books on Physics)editore:Dover Publicationsanno:1956ISBN:978-0486603049autore:Richard Feynmantitolo:La fisica di Feynmancittà:Bolognaeditore:Zanichellianno:2001ISBN:978-88-08-16782-8
Voci correlate
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Altri progetti
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Collegamenti esterni
Content:@an0:http://goldbook.iupac.org/B00748.html@an1:IUPAC Gold Book, "Brownian motion"lingua:en@an0:Edward Nelson, ''Dynamical Theories of Brownian Motion'' (1967)@an0:Robert Brown, ''Microscopical Observations of Active Molecules'' (1827) Categoria:Chimica fisica Categoria:Chimica dei colloidi Categoria:Matematica finanziaria Categoria:Processi stocastici

References

particellemicrometrofluidisospensioniOttocentobotanicoRobert Brown1905Albert Einsteinfenomeni casualimercati finanziari1900Louis Bachelier1785Jan IngenhouszmicroscopiopollinePulchella clarkiapollinespermatozoiesperimentoitalianoannus mirabilisagitazione termicaJ. B. Perrin1926struttura atomica della materiaM. SmoluchowskiP. Langevinprocessi stocasticiequazioni differenziali stocastichechimicatelecomunicazionifinanzaN. Wiener1923processo di Wienerfluidoequilibrio termodinamicomolecoletemperaturadisperdendovicoloratecolloidalicolloidalesospensionefluido non newtonianothumb|right|Esempio della traiettoria seguita da una particella in moto brownianomassaattrito viscosovelocitàforzateorema del limite centralegaussianamenteprima equazione cardinalediffusività di materiagaussianamediavarianzadistribuzione di probabilitàprobabilitàprobabilità condizionataserie di Taylorequazione di diffusionepotenzialeattritoequazione di diffusioneLouis Bachelier1900statisticotitoliBorsaParigidistribuzione di probabilitàWilliam Felleranni sessantaefficienza dei mercatimercato finanziariofinanzaBlack e Scholes1973prodotti finanziari derivatirandom walkItōMalliavinsimulazioneMonte CarloB. MandelbrotN. TalebRichard FeynmanLa fisica di FeynmanLuca PelitiCaos molecolareColloideEffetto TyndallModello di Black-Scholes-MertonProcesso di WienerPasseggiata aleatoriaMoto browniano geometricoProcesso markovianoCategoria:Chimica fisicaCategoria:Chimica dei colloidiCategoria:Matematica finanziariaCategoria:Processi stocasticiCategoria:Albert Einstein

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